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By Marchenko V. M.

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On sait que tn a n z´eros distincts dans ] − 1, 1[. On va voir que c’est une propri´et´e g´en´erale des polynˆ omes orthogonaux. Th´ eor` eme 3 – Pour tout poids w sur ]a, b[, le polynˆome pn poss`ede n z´eros distincts dans l’intervalle ]a, b[. D´ emonstration. Soient x1 , . . , xk les z´eros distincts de pn contenus dans ]a, b[ et m1 , . . , mk leurs multiplicit´es respectives. On a m1 + . . + mk ≤ deg pn = n. Posons εi = 0 si mi est pair, εi = 1 si mi est impair, et k q(x) = (x − xi )εi , deg q ≤ k ≤ n.

On a f − rn 2 ≤ f − rα,n 2 ≤ f − f χα 2 + f χα − rα,n 2 . Soit ε > 0 fix´e. On peut d’abord choisir α > 0 tel que f − f χα 2 < 2ε ; α ´etant ainsi fix´e, on peut choisir n0 tel que n > n0 entraˆıne f χα − rα,n 2 < 2ε et donc f − rn 2 < ε. Mise en œuvre num´ erique – Si les polynˆomes pn sont connus, le calcul des rn est possible d`es lors qu’on sait ´evaluer les int´egrales f, pk : les m´ethodes d’int´egration num´erique feront pr´ecis´ement l’objet du prochain chapitre. Si les polynˆ omes pn ne sont pas connus, on peut les calculer num´eriquement par la formule de r´ecurrence du th´eor`eme 2.

2. On note tn le polynˆ ome de Tchebychev de degr´e n et c un r´eel tel que |c| < 1. (a) Montrer qu’il existe une fonction continue ψ `a valeurs r´eelles, d´efinie sur [0, π] avec ψ(0) = ψ(π) = 0 et v´erifiant eiψ(θ) = 1 − ce−iθ . 1 − ceiθ (b) Pour n ∈ N on note g(θ) = (n + 1)θ + ψ(θ). (α) Soit θ1 = π. Calculer g(θ1 ) − nπ et g(0) − nπ. En d´eduire qu’il existe θ2 v´erifiant 0 < θ2 < θ1 et g(θ2 ) = nπ. (β) Montrer qu’il existe une suite strictement d´ecroissante θk de [0, π] telle que g(θk ) = (n − k + 2)π pour k = 1, .

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by Daniel
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