Kenneth Eriksson, Donald Estep, Claes Johnson, J. Schüle's Angewandte Mathematik. Integrale und Geometrie in Rn PDF

By Kenneth Eriksson, Donald Estep, Claes Johnson, J. Schüle

ISBN-10: 3540228799

ISBN-13: 9783540228790

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4 Stammfunktion von f (x) = xr fu ¨r r = −1 Bisher waren wir recht erfolgreich, aber wir sollten nicht u ¨ bertrieben selbstsicher werden. Denn wir stoßen bereits bei diesen ersten Beispielen auf ein ernstes Problem. Da Dxs = sxs−1 f¨ ur s = 0 und x > 0, k¨onnen wir die vorangegangenen Argumente auf rationale Potenzen von x erweitern und erhalten f¨ ur r = s − 1 = −1: x y r dy = 1 xr+1 1 − r+1 r+1 f¨ ur x > 1. 5 Ein kurzer Uberblick u ¨ ber den bisherigen Fortschritt 461 Diese Formel verliert ihre G¨ ultigkeit f¨ ur r = −1 und deswegen kennen wir keine Stammfunktion f¨ ur f (x) = xr mit r = −1 und wir wissen noch nicht einmal, ob eine existiert.

Offensichtlich u(x) = xm+1 /(m + 1) f¨ ur x > 0. Wir k¨onnen diese Tatsache folgendermaßen schreiben: F¨ ur m = −2, −3, . . 6) wobei wir die Integration willk¨ urlich bei x = 1 beginnen. Der Anfangspunkt ist wirklich uninteressant, so lange wir 0 vermeiden. Wir m¨ ussen 0 vermeiden, da die Funktion xm f¨ ur m = −2, −3, . . gegen Unendlich strebt, falls x sich an Null ann¨ ahert. Um den Beginn bei x = 1 auszugleichen, ziehen wir den entsprechenden Wert von xm+1 /(m + 1) bei x = 1 von der rechten Seite ab.

Beachten Sie, dass dies eine Interpretation ist. Es ist ansonsten keine gute Idee zu sagen, dass das Integral eine Fl¨ache ist. Allein schon deswegen, da das Integral vieles repr¨asentieren kann, wie einen Abstand, einen Geldbetrag, ein Gewicht oder etwas anderes. Wenn wir das Integral als Fl¨ ache interpretieren, dann interpretieren wir auch einen Abstand, einen Geldbetrag, ein Gewicht oder etwas anderes als Fl¨ache. Wir verstehen, dass wir diese Interpretation nicht w¨ortlich nehmen k¨onnen, da ein Abstand nicht einer Fl¨ ache gleich sein kann, aber er kann als Fl¨ache interpretiert werden.

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Angewandte Mathematik. Integrale und Geometrie in Rn by Kenneth Eriksson, Donald Estep, Claes Johnson, J. Schüle


by Jason
4.2

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